LH14 - La LH des bonnes habitudes
Alice et Bob lancent 100 pièces équilibrées numérotées de 1 à 100. Alice et Bob vont ces 100 mêmes pièces.
Alice lit les pièces dans l'ordre linéaire $(1,...,100)$.
Bob lit les pièces d'abord les impaires puis les paires $(1,3,...99,2,...,100)$.
Alice et Bob lisent simultanément les pièces donc (Alice lit 1 et Bob lit 1, Alice lit 2 et Bob lit 3, etc...). Dès que l'un deux lit deux piles de suite, il gagne et le jeu s'arrête.
Personne ne gagne ?
[Quel est votre avis ? Intuitivement ?]
A priori, la permutation ne perturbe pas la probabilité d'avoir deux piles de suite puisque nos lancers sont vraisemblablement indépendants.
En réalisant un notebook python (faites-le, c'est assez perturbant), on remarque quelque chose de gênant, de troudbalisant. Dites-vous que le président du club MàT est tombé dedans comme de rien...
Un collègue a fait un algorithme où Bob gagne 45% du temps (35% du temps pour Alice, le reste étant des nuls ou des égalités). Personnellement, j'obtiens 66% de victoires pour Bob. Un autre collègue a obtenu un résultat similaire.
Bob gagne.
Et je ne suis pas seul à remarquer ce fait étrange. Mes collègues, et mêmes d'autres gens sur Twitter.
Je cherche encore une preuve assez propre de ce résultat mais je peux donner plusieurs remarques :
Si vous pensiez, comme moi, comme d'autres, que la permutation ne venait pas perturber l'expérience, imaginez que Bob lise $(2,3,...,99,100,1)$. Alice gagne seulement si on a $PPF$ au début (soit $1/8$) et sinon $PPP$ est une égalité. Sinon, soit Bob gagne (car il lit littéralement avant Alice), soit il y a nul.
L'avantage sera clairement pour Bob.
Au début (50 premières lectures), Bob sera toujours devant Alice donc révèlera un peu des informations sur les lectures d'Alice à venir.
Si Bob perd à l'étape $i$. Si $i$ est pair, alors autour de la pièce $X_i$ lue par Alice, on aura possiblement 1. $PX_i F$ 2. $FX_i P$ 3. $FX_i F$ Il n'y a alors qu'une situation sur les six où Alice gagne à la lecture $i$, si on est dans la situation 1. et qu'elle lit $P$.
Sans le conditionnement de Bob, on aurait 1. $PX_i F$ 2. $FX_i P$ 3. $FX_i F$ 4. $PX_iP$ Elle gagnerait dans deux situations sur huit.
Au-delà des 50 lectures, la situation sera renversée par rapport à avant (Alice aura l'avantage). Or, je vous laisse intuitivement imaginer la probabilité que la partie ne se termine pas en moins de 50 lectures (les calculs sont moins évidents ^^). En pondérant, on aura statistiquement un avantage très négligeable pour Alice.
Il y a certainement des tas de choses qui font de ce problème un piège pour notre intuition probabiliste. Nous avons pris l'habitude de manipuler des notions complexes. Vous êtes en plein MDI104 (enfin je crois que c'est encore le nom de ce truc) où vous comprenez enfin ce qu'est une probabilité ! Et pourtant, voilà une leçon à tirer : nous ne savons rien, sans nos formules et nos équations, des probabilités ; nous ne sommes que des bêtes biaisées qui s'orientent malgrès elles vers les erreurs statistiques ; nous ne sommes pas meilleurs qu'un crayon sur un doigt comme balance probabiliste.
En somme, c'est un fait troudbalisant. Il est là pour nous dire de pas avoir la flemme de justifier l'évident calcul de probabilité pour gratter cinq lignes sur son papier de recherche.
Pour ceux qui sont intéressés par ce genre de petits casse-têtes probabilistes, vous pouvez vous amuser à lire la page du Penney's game.
Prenez $n\ge 3$. Alice sélectionne une suite $a$ de ${P,F}^n$ et Bob regarde la suite $a$, il sélectionne ensuite une suite $b$ de ${P,F}^n$. Alice et Bob vont ensuite tirer des pièces jusqu'à voir apparaître la suite $a$ ou $b$. Celui dont la suite apparaît gagne.
Quelle stratégie pour Bob afin de gagner le plus souvent ? Quelle stratégie pour Alice pour empêcher Bob de trouver une stratégie ?
